Question

如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度数．

Answer 1

（1）证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°，…
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；…

（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，…
又∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°．…
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°．…
分析：（1）由∠ABC为直角，得到∠CBD也为直角，得到一对角相等，再由AB=CB，BE=BD，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形CBD全等，得证；
（2）由AB=BC，且∠ABC为直角，得到三角形ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC为45°，由∠CAB-∠CAE求出∠BAE的度数，根据全等三角形的对应角相等得到∠BAE=∠BCD，即可求出∠BCD的度数．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．