Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC=10，在BC边上取点D使BD=6，连结AD，以AD为一边作∠ADE=∠B交边AC于点E，如果sinB=$\frac{3}{5}$，则cos∠AED=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，BM=CM，由三角函数求出AM=$\frac{3}{5}$AB=6，由勾股定理得出BM=8，求出BC=2BM=16，得出CD=BC-BD=10，CD=AB=AC，证出∠BAD=∠CDE，由ASA证明△CDE≌△BAD，得出CE=BD=6，DE=DA，求出AE=AC-CE=4，证明△ADE∽△ACD，得出比例式求出AD=2$\sqrt{5}$，得出DE=2$\sqrt{5}$，作DM⊥AE于M，则AN=EN=$\frac{1}{2}$AE=2，由三角函数定义即可得出结果．

解答 解：作AM⊥BC于M，如图所示：
∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C，BM=CM，
∵sinB=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AM=$\frac{3}{5}$AB=$\frac{3}{5}$×10=6，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴BC=2BM=16，
∵BD=6，
∴CD=BC-BD=10，
∴CD=AB=AC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
在△CDE和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CDE}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BAD（ASA），
∴CE=BD=6，DE=DA，
∴AE=AC-CE=4，
∵∠ADE=∠B=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{AD}{10}=\frac{4}{AD}$，
解得：AD=2$\sqrt{5}$，
∴DE=2$\sqrt{5}$，
作DM⊥AE于N，则AN=EN=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴cos∠AED=$\frac{EN}{DE}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．