分析 （Ⅰ）①根据旋转的性质可得AC=A′C，然后求出△AA′C是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACA′=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AA′，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=$\frac{1}{2}$AB，然后求出A′C=AA′，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点A′到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（Ⅱ）根据旋转的性质可得BC=B′C，AC=A′C，再求出∠ACE=∠A′CD，然后利用“AAS”证明△ACE和△A′CD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=A′D，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（Ⅲ）过点P作PF1∥OQ，易求四边形OQPF1是菱形，根据菱形的对边相等可得OQ=PF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点P作PF2⊥OP，求出∠F1PF2=60°，从而得到△PF1F2是等边三角形，然后求出PF1=PF2，再求出∠NPF1=∠NPF2，利用“边角边”证明△NPF1和△NPF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△OPQ中求出OQ的长，即可得解．
解答 
解：（Ⅰ）①∵△A′B′C绕点C旋转点A′恰好落在AB边上，
∴AC=A′C，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
又∵∠CA′B′=∠BAC=60°，
∴∠ACA′=∠CA′B′，
∴A′B′∥AC．
故答案是：平行；
②相等．理由如下：
如图②，∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴A′C=AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AC=A′C=AA′，
∴△AA′C是等边三角形，
根据等边三角形的性质，△AA′C的边AA′、AC上的高相等，
∴△A′BC与△AB′C的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：S1=S2；
（Ⅱ）如图③，∵△A′B′C是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=B′C，AC=A′C，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠A′CD+∠BCE=180°-90°=90°，
∴∠ACE=∠A′CD，
在△ACE和△A′CD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠A′DC=90°}\\{∠ACE=∠A′CD}\\{AC=A′C}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△A′CD（AAS），
∴AE=A′D，
∴△ACB′的面积和△A′CB的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（Ⅲ）如图④，过点P作PF1∥OQ，易求四边形OQPF1是菱形，
所以OQ=PF1，且OQ、PF1上的高相等，
此时S△PNF1=S△OQP；
过点P作PF2⊥OP，
∵∠MON=60°，F1P∥OQ，
∴∠F2F1P=∠MON=60°，
∵OF1=PF1，∠F1OP=$\frac{1}{2}$∠MON=30°，∠F2PO=90°，
∴∠F1PF2=∠MON=60°，
∴△PF1F2是等边三角形，
∴PF1=PF2，
∵OP=PN，∠MON=60°，点P是角平分线上一点，
∴∠PON=∠PNO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠NPF1=180°-∠ONP=180°-30°=150°，
∠NPF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠NPF1=∠NPF2，
在△NPF1和△NPF2中，
$\left\{\begin{array}{l}{P{F}_{1}=P{F}_{2}}\\{∠NP{F}_{1}=∠NP{F}_{2}}\\{NP=NP}\end{array}\right.$，
∴△NPF1≌△NPF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠MON=60°，点P是角平分线上一点，PQ∥OM，
∴∠PON=∠OPQ=∠MOP=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又∵OP=4，
∴OQ=$\frac{1}{2}$×4÷cos30°=2÷$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OF1=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OF2=OF1+F1F2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故OF的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．
轻松夺冠全能掌控卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，△A′B′C′是△ABC平移后得到的，△ABC内任意一点M（x0，y0）平移后对应点M（x0-5，y0-3）查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），∠ABO=∠BCO=30°查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，P为菱形ABCD的对角线AC上一点，AB=2cm，∠B=120°，PE⊥CD于点E，PF⊥AD于点F，则PE+PF的值为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，DB=4，AC=8$\sqrt{2}$，求菱形的边长．