Question

如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC；

（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，
∴AC=CE，∠ACE=150°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°，
∵AC=CE，AC=BC，
∴CE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=AC．
如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．
在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，
∴DM=MC=a．
在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，
∴DN=2DM=a，NM=DM=a．
∵∠ADN=∠CAD=15°，
∴AN=DN=a，
∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，
∴BE=AC=a．
分析：（1）先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE=60°即可；
（2）先由三角形内角和定理及∠ACB=90°得出∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°，又由CE=AC=BC，证明△BCE是等边三角形，则所求BE的长即转化为求AC的长；再解斜△ACD，为此，过D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．分别求出MC=a，NM=a，AN=a，则AC=AN+NM+MC可求．
点评：此题主要考查等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理与外角的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解三角形等知识，有一定难度．其中（2）运用转化思想，将所求BE的长转化为求AC的长；将解斜△ACD转化为解直角△CDM与△DMN是解题的关键．