Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，正方形EFGH四个顶点分别在三边上，连CH，CG交EF于M、N，求证：EM•FN=MN²．

Answer 1

分析：由四边形EFGH是正方形，可证得△CEM∽△CAH，△CFN∽△CBG，△CMN∽△CHG，然后由相似三角形的对应边成比例，易得（

MN

HG

）²=

EM

AH

×

FN

BG

=

EM•FN

AH•BG

，易证得△AEH∽△EBG，则可得HG²=BG•AH，继而证得EM•FN=MN²．

解答：证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥AB，
∴△CEM∽△CAH，△CFN∽△CBG，△CMN∽△CHG，
∴

EM

AH

=

CM

CH

，

FN

BG

=

CN

CG

，

MN

HG

=

CM

CH

=

CN

CG

，
∴（

MN

HG

）²=

EM

AH

×

FN

BG

=

EM•FN

AH•BG

，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHE=∠FGB=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴∠A=∠BFG，
∴△AEH∽△EBG，
∴EH：BG=AH：FG，
∴EH•FG=BG•AH，
∵EH=HG=FG，
∴HG²=BG•AH，
∴EM•FN=MN²．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．