Question

如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：
（1）F为BD的中点．
（2）△DEF为等边三角形．

Answer 1

分析：（1）根据等腰梯形同一底上的两底角相等求出∠ABC=∠A=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=30°，根据两直线平行，内错角相等求出∠CDB=30°，从而得到∠CBD=∠CDB，再根据等角对等边的性质求出CB=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得F为BD的中点；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=EF，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BDE=60°，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明．

解答：（1）证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠ABC=∠A=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵CF⊥BD，
∴F为BD的中点；

（2）∵DE⊥AB，F为BD的中点，
∴DF=BF=EF，
∵∠ABD=30°，
∴∠BDE=90°-30°=60°，
∴△DEF为等边三角形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，角平分线定义，两直线平行内错角相等的性质，以及等腰三角形三线合一的性质，等边三角形的判定，根据角的度数的相等求出相等的角是解题的关键．