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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点，点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设
    AC
    AO
    =a，
    BD
    DO
    =b，
    CP
    PB
    =k．
    （1）如图1，当a=
    1
    2
    ，b=1时，请求出k的值；
    （2）当a=
    1
    3
    ，b=1时（如图2），请求出k的值；当a=
    3
    2
    ，b=
    1
    5
    时，k=
    15
    2
    15
    2
    ；
    （3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=
    a
    b
    a
    b
    ；②若点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0），直线AD为：y=-
    1
    2
    x+4，则k=
    5
    2
    5
    2
    ．
    分析：（1）当a=
    1
    2
    ，b=1时，由条件可以得知设
    AC
    AO
    =
    1
    2
    ，
    BD
    DO
    =1，可以得出D、C是OB、OA的中点，作DE∥OA交BC于点E，根据三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理可以得出结论．
    （2）如图2，作DF∥OA交BC于点F，根据三角形相似的性质和平行线分线段成比例定理可以同（1）一样的方法得出结论，如图3，作GB∥OC交PA于点G，可以得出△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．由相似三角形的性质及在a=
    3
    2
    ，b=
    1
    5
    的情况下就可以得出结论．
    （3）①通过（1）、（2）的计算就可以得出：a=
    1
    2
    ，b=1时，k=
    a
    b
    =
    1
    2
    1
    =
    1
    2
    ，a=
    1
    3
    ，b=1时，k=
    a
    b
    =
    1
    3
    1
    =
    1
    3
    ，当a=
    3
    2
    ，b=
    1
    5
    时，k=
    a
    b
    =
    3
    2
    1
    5
    =
    15
    2
    ，从而可以得出结论：k=
    a
    b
    ；
    ②根据直线AD的解析式y=-
    1
    2
    x+4可以求出D点的坐标，从而求出OD的值，再由点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0）就可以求出AO，CO，AC的值，从而可以求出a、b的值，直接运用k=
    a
    b
    就可以求出结论．
    解答：解：（1）如图1，作DE∥OA交BC于点E，
    ∵
    AC
    AO
    =a，
    BD
    DO
    =b，且a=
    1
    2
    ，b=1，
    ∴
    AC
    AO
    =
    1
    2
    ，
    BD
    DO
    =1，
    ∴AO=2AC，BD=DO，
    ∴D、C是OB、OA的中点．
    ∴OC=AC．
    ∵DE∥OA，
    ∴BE=CE，
    ∴DE=
    1
    2
    OC，
    ∴DE=
    1
    2
    AC．
    ∵DE∥OA，
    ∴△DEP∽△ACP，
    ∴
    DE
    AC
    =
    EP
    PC
    ，
    ∴
    EP
    PC
    =
    1
    2
    ，
    ∴PC=2PE，
    ∴EC=3PE，
    ∴BE=3PE，
    ∴BP=4PE．
    ∴
    CP
    PB
    =
    2PE
    4PE
    =
    1
    2
    ，
    ∵
    CP
    PB
    =k，
    ∴k=
    1
    2
    ；
    （2）如图2，作DF∥OA交BC于点F，
    ∵
    AC
    AO
    =a，
    BD
    DO
    =b，且a=
    1
    3
    ，b=1，
    ∴
    AC
    AO
    =
    1
    3
    ，
    BD
    DO
    =1
    ∴AO=3AC，BD=DO，
    ∴OC=2AC．
    ∵DF∥OA，
    ∴BF=CF，DF=
    1
    2
    OC，
    ∴DF=AC．
    ∵DF∥OA，
    ∴△DFP∽△ACP，
    ∴
    DF
    AC
    =
    PF
    PC
    =1，
    ∴PF=PC，
    ∴CF=2PC，
    ∴BP=3PC，
    ∴
    CP
    PB
    =
    CP
    3CP
    =
    1
    3
    ，
    ∵
    CP
    PB
    =k，
    ∴
    CP
    PB
    =
    1
    3
    ，
    ∴k=
    1
    3
    ；
    如图3，作GB∥OC交PA于点G，
    ∴△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．
    ∴
    GB
    OA
    =
    DB
    DO
    ，
    CP
    PB
    =
    AC
    GB
    ．
    ∵
    AC
    AO
    =a，
    BD
    DO
    =b，
    a=
    3
    2
    ，b=
    1
    5
    时，
    ∴
    AC
    AO
    =
    3
    2
    ，
    BD
    DO
    =
    1
    5

    ∴2AC=3AO，
    GB
    OA
    =
    1
    5
    ，
    ∴AC=
    3
    2
    AO，AO=5GB，
    ∴AC=
    15
    2
    GB，
    ∴
    CP
    PB
    =
    25
    2
    GB
    GB
    =
    15
    2
    ．
    ∵
    CP
    PB
    =k，
    ∴k=
    15
    2
    ；
    （3）①通过（1）、（2）的计算就可以得出：
    a=
    1
    2
    ，b=1时，k=
    a
    b
    =
    1
    2
    1
    =
    1
    2
    ，
    a=
    1
    3
    ，b=1时，k=
    a
    b
    =
    1
    3
    1
    =
    1
    3
    ，
    a=
    3
    2
    ，b=
    1
    5
    时，k=
    a
    b
    =
    3
    2
    1
    5
    =
    15
    2
    ，
    从而可以得出结论：k=
    a
    b
    ；
    ②如图4，∵AD的解析式y=-
    1
    2
    x+4，
    ∴当x=0时，y=4，
    ∴D（0，4），
    ∴OD=4，
    ∵点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0），
    ∴OA=8，OB=6，OC=2，
    ∴AC=10，BD=2.2
    ∵
    AC
    AO
    =a，
    BD
    DO
    =b，
    ∴a=
    10
    8
    =
    5
    4
    ，b=
    2
    4
    =
    1
    2
    ，
    ∴k=
    a
    b
    =
    5
    4
    1
    2
    =
    5
    2

    故答案为：
    15
    2
    ，
    a
    b
    ，
    5
    2
    ．
    点评：本题是一道相似形综合试题，考查了作平行线在相似形中的运用，相似三角形的判定及性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，解答是寻找k与a、b之间的关系式是关键．
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    已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点，点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设=a， =b，=k。
    （1）如图1，当a=，b=1时，请求出k的值；
    （2）当a=，b=1时(如图2)，请求出k的值；当a=，b=时，k=▲；
    （3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=▲；② 若点A(8,0)，点B（0，6），C（－2，0），直线AD为：y=－x+4，则k=▲。

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    （1）如图1，当a=，b=1时，请求出k的值；
    （2）当a=，b=1时（如图2），请求出k的值；当a=，b=时，k=______；
    （3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=______；②若点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0），直线AD为：y=-x+4，则k=______．

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    已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点，点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设=a， =b，=k。

    （1）如图1，当a=，b=1时，请求出k的值；

    （2）当a=，b=1时(如图2)，请求出k的值；当a=，b=时，k= ▲；

    （3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=▲；② 若点A(8,0)，点B（0，6），C（－2，0），直线AD为：y=－x+4，则k=▲。

     

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