Question

已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点，点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设=a，=b，=k．
（1）如图1，当a=，b=1时，请求出k的值；
（2）当a=，b=1时（如图2），请求出k的值；当a=，b=时，k=______；
（3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=______；②若点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0），直线AD为：y=-x+4，则k=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=，b=1时，由条件可以得知设=，=1，可以得出D、C是OB、OA的中点，作DE∥OA交BC于点E，根据三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理可以得出结论．
（2）如图2，作DF∥OA交BC于点F，根据三角形相似的性质和平行线分线段成比例定理可以同（1）一样的方法得出结论，如图3，作GB∥OC交PA于点G，可以得出△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．由相似三角形的性质及在a=，b=的情况下就可以得出结论．
（3）①通过（1）、（2）的计算就可以得出：a=，b=1时，k===，a=，b=1时，k=，当a=，b=时，k=，从而可以得出结论：k=；
②根据直线AD的解析式y=-x+4可以求出D点的坐标，从而求出OD的值，再由点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0）就可以求出AO，CO，AC的值，从而可以求出a、b的值，直接运用k=就可以求出结论．
解答：解：（1）如图1，作DE∥OA交BC于点E，
∵=a，=b，且a=，b=1，
∴=，=1，
∴AO=2AC，BD=DO，
∴D、C是OB、OA的中点．
∴OC=AC．
∵DE∥OA，
∴BE=CE，
∴DE=OC，
∴DE=AC．
∵DE∥OA，
∴△DEP∽△ACP，
∴，
∴，
∴PC=2PE，
∴EC=3PE，
∴BE=3PE，
∴BP=4PE．
∴=，
∵=k，
∴k=；
（2）如图2，作DF∥OA交BC于点F，
∵=a，=b，且a=，b=1，
∴=，=1
∴AO=3AC，BD=DO，
∴OC=2AC．
∵DF∥OA，
∴BF=CF，DF=OC，
∴DF=AC．
∵DF∥OA，
∴△DFP∽△ACP，
∴=1，
∴PF=PC，
∴CF=2PC，
∴BP=3PC，
∴，
∵=k，
∴=，
∴k=；
如图3，作GB∥OC交PA于点G，
∴△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．
∴，．
∵=a，=b，
a=，b=时，
∴=，=
∴2AC=3AO，，
∴AC=AO，AO=5GB，
∴AC=GB，
∴=．
∵=k，
∴k=；
（3）①通过（1）、（2）的计算就可以得出：
a=，b=1时，k===，
a=，b=1时，k=，
a=，b=时，k=，
从而可以得出结论：k=；
②如图4，∵AD的解析式y=-x+4，
∴当x=0时，y=4，
∴D（0，4），
∴OD=4，
∵点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0），
∴OA=8，OB=6，OC=2，
∴AC=10，BD=2.2
∵=a，=b，
∴a=，b=，
∴k=
故答案为：，，．
点评：本题是一道相似形综合试题，考查了作平行线在相似形中的运用，相似三角形的判定及性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，解答是寻找k与a、b之间的关系式是关键．