Question

（1996•山东）AB为⊙O直径，BC为切线，CO平行于弦AD，OA=r．
①求证：DC为⊙O切线；
②求AD•OC；
③若AD+OC=

9

2

r，求CD长．

Answer 1

分析：①连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线；
②连接BD，OD．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB∽△ODC，再根据相似三角形对应边成比例即可得到AD•OC的值；
③先解方程组

AD+OC= 9 2 r AD•OC=2r2

，求出OC的长，然后在Rt△ODC中，利用勾股定理即可得到CD的长．

解答：①证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，
∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC与△ODC中，

OB=OD ∠BOC=∠DOC OC=OC

，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切线；

②解：连接BD，OD．
∵在△ADB与△ODC中，

∠A=∠COD ∠ADB=∠ODC=90°

，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD=AB：OC，
∴AD•OC=OD•AB=r•2r=2r²；

（3）解：由（2）得AD•OC=2r²，与AD+OC=

9

2

r联立，
解得AD=4r，OC=

1

2

r或AD=

1

2

r，OC=4r．
∵AD＜OC，
∴AD=

1

2

r，OC=4r符合题意．
∴CD=

OC2-OD2

=

16r2-r2

=

15

r．

点评：本题是圆的综合题，其中涉及到切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．