Question

13．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10$\sqrt{2}$cm，∠BAC=90°，点D在AB边上且BD=4cm，过点D作DE⊥AB交BC于点E．
（1）求DE的长；
（2）若动点P从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动，连结PE，设点P运动的时间为t秒．当S_△PDE=6cm²时，求t的值；
（3）若动点P从点D出发沿着DA方向向终点A运动，连结PE，以PE为腰，在PE右侧按如图方式作等腰直角△PEF，且∠PEF=90°．当点P从点D运动到点A时，求点F运动的路径长（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）分点P在线段BD上和点P在线段AD上两种情况，根据三角形的面积公式计算；
（3）证明△PDE≌△EHF，根据全等三角形的性质、结合图形解答即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠B=∠BED=45°，
∴DE=BD=4cm；
（2）当点P在线段BD上时，S_△PDE=$\frac{1}{2}$×DP×DE=$\frac{1}{2}$×4×（4-2t）=6，
整理得，4-2t=3，
解得，t=0.5，
当点P在线段AD上时，S_△PDE=$\frac{1}{2}$×DP×DE=$\frac{1}{2}$×4×（2t-4）=6，
整理得，2t-4=3，
解得，t=3.5，
综上所述，t=0.5或3.5；
（3）点F运动的路径长为10$\sqrt{2}$-4．
理由如下：过点F作FH⊥DE于点H．
∵∠PEF=90°，
∴∠PED+∠FEH=90°，
∴∠PED=∠EFH，
在△PDE和△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PED=∠FEH}\\{∠PDE=∠HEF}\\{EP=EH}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△EHF，
∴FH=DE=4，
∴当P从点D运动到点A时，点F运动的路径为线段，
该线段的长度=AD=10$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查的是三角形的知识的综合运用，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．