Question

在等腰△ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．
（1）如图1，若∠BAC=30°，30°＜m＜l80°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；
（2）如图2，若∠BAC=60°，0°＜m＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值．
（3）如图3，若∠BAC=90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使AE：BE=，若存在，求出所有符合条件的m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，
∠ABD=（180°-m）÷2=90°-m，
∠DBC=∠ABC-∠ABD=75°-（90°-m）=m-15°；

（2）由分析图形可知m的取值为：30°，120°，210°，300°；

（3）存在2个符合条件的m的值：m=30°或m=330°．
如图①：过E作EF⊥AB于F．
在Rt△BEF中，∵∠FBE=45°，
∴BE=EF，
在Rt△AEF中，∵∠FAE=30°，
∴AE=2EF，
∴AE：BE=；
如图②：同理可得：AE：BE=．
分析：（1）根据三角形内角和和等腰三角形的性质分别求出∠ABC，∠ABD的度数，相减即可求解；
（2）分四种情况：讨论得到△BDC为等腰三角形时m的取值；
（3）分E点在BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．
点评：综合考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，注意分类思想的运用，是考试压轴题，难度较大．