Question

如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S₁；取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边形E₁D₁FF₁，它的面积记作S₂．照此规律作下去，则S₂₀₁₂=

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：规律型

分析：先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S₁的值，进而可得出S₂的值，找出规律即可得出S₂₀₁₂的值．

解答：解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴△ABC的高=AB•sinA=2×

3

2

=

3

，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF=1，
∴S₁=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

；
同理可得，S₂=

3

4

×

1

4

；
…
∴S_n=

3

4

×（

1

4

）^n-1；
∴S₂₀₁₂=

3

4

×（

1

4

）²⁰¹¹=

3

42012

=

3

24024

．
故答案为

3

22024

．

点评：本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．