Question

阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有当a=b时，等号成立．若ab为定值P，则a+b≥2

P

，只有当a=b时，a+b有最小值2

P

．
（1）如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上的任意一点，（与点A、B不重合）过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．根据图象验证，a+b≥2

ab

，并指出等号成立时的条件．

（2）根据上述内容，回答下列问题
①若m＞0，只有当m=

1

时，m+

1

m

有最小值为

2

．
②如图2所示：A（-3，0），B（0，-4），P为双曲线y=

12

x

(x＞0)上任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时ABCD的形状．

Answer 1

分析：（1）先证明△ACD∽△CBD可得CD与

ab

之间的关系，根据半径与a，b之间的等量关系，以及半径大于CD可得相关结论．
（2）①根据材料信息，可直接得出m的值，及m+

1

m

的最小值．
②设出的点P的坐标，根据对角线互相垂直的四边形的面积的求法，表示出四边形ABCD的面积，然后根据材料信息得出面积的最小值，也可判断出此时四边形ABCD的形状．

解答：解：（1）AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD=90°-∠B=∠BCD，
∴Rt△CAD∽Rt△BCD，
∴CD²=AD•DB=ab，
∴CD=

ab

，
若点D与O不重合，连OC，
在Rt△OCD中，OC＞CD，则

a+b

2

＞

ab

，
若点D与O重合时，OC=CD，则

a+b

2

=

ab

．
综上所述

a+b

2

≥

ab

，即a+b≥2

ab

，且当a=b时，等号成立．

（2）①由所给信息可得：m+

1

m

≥2

m× 1 m

=2，且当m=

1

m

时，等号成立，
即可得若m＞0，只有当m=1时，m+

1

m

有最小值为2．
②设P（x，

12

x

），则C（x，0），D（0，

12

x

），CA=x+3，DB=

12

x

+4，
则S_{四边形ABCD}=

1

2

CA×DB=

1

2

（x+3）×（

12

x

+4），
化简得：S_{四边形ABCD}=2（x+

9

x

+12），
∵x＞0，

9

x

＞0，
∴x+

9

x

≥2

x• 9 x

=6，
只有当x=

9

x

即x=3时，等号成立．
则S≥2×6+12=24，
即当x=3时，S_{四边形ABCD}有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
故可得四边形ABCD是菱形．

点评：此题属于反比例函数综合题，注意仔细阅读材料，获取解题需要的信息，另外要注意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，有一定难度．