Question

已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？（9分）

Answer 1

分析：（1）先计算△，化简得到△=（2k-3）²，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x₁=2k-1，x₂=2，则可设b=2k-1，c=2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，
分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．

解答：（1）证明：△=（2k+1）²-4×1×4（k-

1

2

）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵无论k取什么实数值，（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）∵x=

2k+1±(2k-3)

2

，
∴x₁=2k-1，x₂=2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k-1，c=2，
当a、b为腰，则a=b=1，而a+b=c，所以这种情况不成立，
当b、c为腰，则2k-1=2，解得k=

3

2

，
此时三角形的周长=2+2+1=5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．