Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8．点F在BC上CF=2，E是AB中点．
（1）求证：AC平分∠BCD；
（2）在AC上找一点M，使EM+FM的值最小，请你说明最小的理由，并求出这个最小值．

Answer 1

考点：梯形,全等三角形的判定与性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）若要证明ACAC平分∠BCD，只要证明∠BCA=∠DCA即可；
（2）过点F作FG⊥AC于G，并延长交CD于N，连接EN交AC于M，连接MF，易证EN为梯形的中位线，求得EN即可．

解答：（1）证明：∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∴∠BCA=∠DCA．
即AC平分∠BCD．
（2）解：过点F作FG⊥AC于G，并延长交CD于N，连接EN交AC于M，连接MF．
∵∠BCA=∠DCA，∠FGC=∠NGC，GC=GC，
∴△CFG≌△CNG．
∴CF=CN=2．
∴GF=GN，
∴FM=MN，
∵E，M，N在一条直线上，
∴EM+MN最短，
∴EM+FM最短．
∵CD=4，
∴CN=DN=2．
∵E是AB中点，
∴EN=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（4+8）=6，
∴EM+FM=EM+MN=EN=6．

点评：本题主要考查了梯形的性质的应用、最短路线问题，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．