Question

8．如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB=AC，点P是ABC内一点，且∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB的度数为70°．

Answer 1

分析 在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC，根据等边三角形的性质得到AD=AB=AC，求出∠DAC、∠ACD、∠ADC的度数，根据三角形的内角和定理求出∠ABC=∠ACB=50°，即∠CDB=140°=∠BPC，再证△BDC≌△BPC，得到PC=DC，进一步得到等边△DPC，推出△APD≌△APC，根据全等三角形的性质得到∠DAP=∠CAP=10°，即可求出答案．

解答 解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
∴AD=AB=AC，
∠DAC=∠BAC-∠BAD=20°，
∴∠ACD=∠ADC=80°，
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∴∠CDB=140°=∠BPC，
又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，
在△BDC和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠BPC}\\{∠DCB=∠PCB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵∠PCD=60°，
∴△DPC是等边三角形，
在△APD和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{AP=AP}\\{PD=PC}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP=∠CAP=10°，
∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．
故答案为：70°．

点评 本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，作辅助线得到全等三角形是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一点难度．