Question

5．如图，正方形ABCD中，点E是AB的中点，连接DE，在DE上取一点G，连接BG，使BG=BC，连接CG并延长与AD交于点F，在CG上取一动点P（不与点C，点G重合），过点P分别作BG和BC的垂线，垂足分别为点M，点N．若四边形AEGF的面积是$\frac{4}{5}$，则PM+PN的值为$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 延长DE和CB交于H点，过G点作QK∥BC，先证得△ADE≌△BHE，得出BH=BG=BC，进而得出∠H=∠BGH，∠BGC=∠BCG，从而得出∠H+∠BCG=∠HGC=90°，然后进一步证明△ADE≌△DCF，证得F是AD的中点，设AE=BE=a=DF，则CH=4a，QK=2a，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{DF}{CH}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{QG}{GK}$=$\frac{1}{4}$，得出QG=$\frac{1}{5}$QK=$\frac{2}{5}$a，GK=$\frac{4}{5}$QK=$\frac{8}{5}$a，然后根据四边形AEGF的面积=△ADE的面积-△DGF的面积，求得a的值，从而求得GK的值，最后再证得PM+PN=GK即可．

解答 解：延长DE交CB的延长线于点H，过点G作QK⊥BC，QK分别交BC、AD于Q、K，
∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴AD∥BH，AD=BC，
∴∠ADE=∠H，
在△ADE和△BHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠H}\\{∠AED=∠BEH}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BHE（AAS），
∴BH=AD，
∵BG=BC，
∴BH=BG=BC，
∴∠H=∠BGH，∠BGC=∠BCG，
∴∠H+∠BCG=∠HGC=90°，
∴∠DCF+∠GDC=90°，
∵∠ADE+∠GDC=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠DCF}\\{AD=DC}\\{∠A=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF，
∴F是AD的中点，
设AE=BE=a=DF，则CH=4a，QK=2a，
∵AD∥CH，
∴$\frac{DF}{CH}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{QG}{GK}$=$\frac{1}{4}$，
∴QG=$\frac{1}{5}$QK=$\frac{2}{5}$a，GK=$\frac{4}{5}$QK=$\frac{8}{5}$a，
∵四边形AEGF的面积是$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$a•2a-$\frac{1}{2}$a•$\frac{2}{5}$a=$\frac{4}{5}$，解得a=1，
∴GK=$\frac{8}{5}$，
∵S_△GBC=S_△PGB+S_△PBC，
∴$\frac{1}{2}$BC•GK=$\frac{1}{2}$BG•PM+$\frac{1}{2}$BC•PN，
∵BG=BC，
∴GK=PM+PN，
∴PM+PN=$\frac{8}{5}$．
故答案为$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．