Question

17．先看数列：1，2，4，8，…，2⁶³．从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2，象这样，一个数列：a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n；从它的第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数q，那么这个数列就叫等比数列，q叫做等比数列的公比．
根据你的阅读，回答下列问题：
（1）请你写出一个等比数列，并说明公比是多少？
（2）请你判断下列数列是否是等比数列，并说明理由；$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{8}$，-$\frac{9}{16}$，…；
（3）有一个等比数列a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n；已知a₁=5，q=-3；请求出它的第25项a₂₅．（结果不需化简，可以保留乘方的形式）

Answer 1

分析 （1）根据定义举一个例子即可；
（2）根据定义，即每一项与它的前一项的比都等于一个常数q（q≠0），那么这个数列就叫做等比数列，进行分析判断；
（3）根据定义，知a₂₅=5×2²⁴．

解答 解：（1）1，3，9，27，81．公比为3；

（2）等比数列的公比q为恒值，
-$\frac{1}{2}$÷$\frac{2}{3}$=-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{8}$÷（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{16}$÷$\frac{3}{7}$=-$\frac{3}{2}$，
该数列的比数不是恒定的，所以不是等比数例；

（3）由等比数列公式得a_n=a₁q^n-1=5×（-3）²⁴，
它的第25项a₂₅=5×（-3）²⁴．

点评 此题考查数字的变化规律，理解等比数列的意义，抓住计算的方法是解决问题的关键．