Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上
一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时．
①求证：四边形BECD是菱形；
②当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）①先证出BD=CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，即可得出四边形BECD是菱形；
②当∠A=45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．

解答 （1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE．
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；

（2）①证明：∵D为AB中点，
∴AD=BD．
∵CE=AD，
∴BD=CE．
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
②当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC．
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∵四边形BECD是菱形，∠CDB=90°，
∴四边形BECD是正方形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．