Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，OF⊥AC于F．
（1）请写出三条与BC相关的正确结论；（不必证明）
（2）若∠D=30°，BC=2，求出圆中阴影的面积．

Answer 1

分析：（1）由CD⊥AB，根据垂径定理得到AB平分BD弧，得到BC=BD；又AB是⊙O的直径，根据圆周角的推论得到∠ACB=90°，而OF⊥AC，则OF为△ACB的中位线，即可得到BC于OF的关系；
（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠D=60°，得到△BOC是等边三角形，⊙O的半径OC=2，则∠AOC=120°，OF=1，根据扇形的面积公式计算出扇形OAC的面积；又在直角△ABC中，AC=

3

BC=2

3

，根据三角形的面积公式计算出△AOC的面积，然后利用S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC计算即可．

解答：解：（1）BC=BD，BC=2OF，BC∥OF；

（2）连接OC，如图，
∵∠D=30°
∴∠BOC=60°，
又∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，⊙O的半径OC=2，
∴∠AOC=120°，OF=1，
∴S_扇形AOC=

1

3

πR2=

4

3

π，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°，∠A=∠D=30°
在直角△ABC中，AC=

3

BC=2

3

，
∴S_△AOC=

1

2

AC×OF=

3

，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

4

3

π-

3

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分所所对的弧；也考查了圆周角定理及其推论、扇形的面积公式以及含30度的直角三角形三边的关系．