Question

已知关于x的方程x²+bx+1=0的两实根为α、β
（1）能否确定α²+β²与2的大小关系并说明理由．
（2）若α＞β，且以α²+β²、3α-3β、αβ为三边的三角形是等腰三角形，求b的值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的方程x²+bx+1=0的两实根为α、β．
∴α+β=-b，α•β=1．
α²+β²=（α-β）²+2αβ
=（α-β）²+2≥2．
（2）∵关于x的方程x²+bx+1=0的两实根为α、β．
∴α+β=-b，α•β=1．
①因为α²+β²≥2，αβ=1，故α²+β²与αβ不相等；
②若3α-3β=1，
根据αβ=1，而α²+β²≥2
则（3α-3β）+αβ＜α²+β²
则不能构成三角形；
③所以3α-3β=α²+β²．
又∵α²+β²=（α+β）²-2αβ
=（-b）²-2．
所以3α-3β=（-b）²-2．
两边平方，得
9（α²+β²-2αβ）=b⁴-4b²+4．
9[（α+β）²-4αβ]=b⁴-4b²+4．
9[（-b）²-4]=b⁴-4b²+4．
解得b⁴-13b²+40=0．
b²=5，或b²=8．
∴b=±5或b=±8．
分析：（1）配方，变为完全平方的形式比较；（2）结合等腰三角形的性质和代数式变形来解答．
点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．