Question

如图，AB是⊙O的直径，CD垂直平分半径OB于H，过C点的弦CF交AB于E，且∠CEH=45°，CE=2

6

，
（1）求⊙O的半径长；     
（2）求AF的长．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接OC，求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）连接BC，求出BC，证三角形相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）连接OC，
设OC=2a，则OH=BH=a，
∵CD⊥AB，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=45°，CE=2

6

，
∴CH=CE•sin45°=2

3

，EH=CE•cos45°=2

3

，
在Rt△CHO中，a²+（2

3

）²=（2a）²，
a=2，
OC=OB=2a=4，
即⊙O的半径是4．

（2）连接BC，
OH=BH=2，
在Rt△CHB中，由勾股定理得：BC=

22+(2 3 )2

=4，
∵∠AEF=∠CEB，∠F=∠ABC，
∴△AFE∽△CBE，
∴

AE

EB

=

AF

BC

，
∴

4-(2 3 -2)

2+2 3

=

AF

4

，
AF=4

3

-6．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形相似的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．