Question

如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，BF与CF相交于F
（1）如图①，若∠F=30°，求∠E的度数；
（2）如图②，若设∠F=α，∠E=β，请你猜想α与β之间的关系（直接写出结果不用说明理由）；
（3）在图③中，（2）中α与β之间的关系是否仍然成立？若成立说明理由，若不成立写出它们之间的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）过点F作FM∥AB，过点E作EN∥AB，根据AB∥DC可知FM∥CD，EN∥CD，故可得出∠1=∠3，∠2=∠4．∠ABE=∠5，∠DCE=∠6，再由BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，可知∠1=

1

2

∠5，∠2=

1

2

∠6，由此即可得出结论；
（2）同（1）即可得出结论；
（3）过点F作FM∥AB，根据AB∥DC，可知FM∥CD，故∠1=∠3，∠2=∠4，再由BF平分∠ABE，CF平分∠DCE可得出∠EBF=∠1=∠3，∠ECF=∠2=∠4，根据四边形内角和定理可知α+β+（∠EBF+∠ECF）=360°，故可得出结论．

解答：解：（1）如图①过点F作FM∥AB，过点E作EN∥AB．
∵AB∥DC，
∴FM∥CD，EN∥CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．∠ABE=∠5，∠DCE=∠6
∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，
∴∠1=

1

2

∠5，∠2=

1

2

∠6，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=

1

2

（∠5+∠6），即∠BFC=

1

2

∠BEC．
∵∠BFC=30°，
∴∠BEC=60°；

（2）β=2α．
理由：如图②，过点F作FM∥AB，过点E作EN∥AB．
同（1）可得∠BFC=

1

2

∠BEC，
∵∠BFC=α，
∴∠BEC=2∠BFC=2α，即β=2α；

（3）不成立．
如图③，过点F作FM∥AB，
∵AB∥DC，
∴FM∥CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，
∴∠EBF=∠1=∠3，∠ECF=∠2=∠4，
∴∠EBF+∠ECF=∠1+∠2=α，
∵α+β+（∠EBF+∠ECF）=360°，
∴α+β+α=360°，即2α+β=360°．

点评：本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．