Question

如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，O是BC的中点，圆O与两腰相切，动点P在圆O上，过点P的圆O切线分别和AB，AC的延长线相交于点D，E． BD•CE的值是常量吗？若是常量，请求之；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：BD•CE的值是常量，连接OD，OE，AO并延长交BC于P′易证△ADE是等腰三角形，所以∠ADB=∠AED，由题意可知O为△ADE的内心，所以DO平分∠ADE，OE平分∠AED，所以∠BDO=∠CEO，进而证明△DBO∽△ECO，由相似三角形的性质可得BD•CE的值．

解答：解：BD•CE的值是常量，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DBO=∠ECO，
∵过点P的圆O切线分别和AB，AC的延长线相交于点D，E，
∴OP⊥DE，
∵O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴A，O，P′三点共线，
∴BC∥DE，
∴∠ADB=∠AED，
由题意可知O为△ADE的内心，
∴DO平分∠ADE，OE平分∠AED，
∴∠BDO=∠CEO，
∴△DBO∽△ECO，
∴

BO

CE

=

BD

CO

，
∴BD•CE=BO•CO=3×3=9，

点评：本题考查了切线的性质，三角形的内切圆的性质，等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△BOD∽△CEO是解题关键．