Question

如图，△ABP中，∠APB=∠α，把△ABP绕点A逆时针旋转60°后得到△ACE．连结BC、PE、PC，测量得∠BPC=100°．

（1）请找出图中的两个等边三角形：

△ABC，△APE

 （不再添加其它点或线）
（2）若∠α=150°，试判断△PEC的形状，并说明你的理由；
（3）若△CPE为等腰三角形，求∠α的度数．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质得到∠BAC=∠PAE=60°，AB=AC，AP=AE，然后根据等边三角形的判定方法可确定△ABC和△APE都是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质由△APE是等边三角形得到∠APE=∠AEP=60°，再利用旋转的性质得∠AEC=∠APB=150°，则可计算出∠CEP=90°，∠CPE=50°，于是可判断△PEC是直角三角形；
（3）先用α表示∠CPE=200°-α，∠CEP=α-60°，再利用三角形内角和定理计算出∠PCE=40°，然后由△CPE为等腰三角形分类讨论：当∠CPE=∠CEP时，即200°-α=α-60°；当∠CPE=∠PCE时，即200°-α=40°；当∠PCE=∠CEP时，即α-60°=40°，再分别解方程求α．

解答：解：（1）∵△ABP绕点A逆时针旋转60°后得到△ACE，
∴∠BAC=∠PAE=60°，AB=AC，AP=AE，
∴△ABC和△APE都是等边三角形；
故答案为△ABC，△APE；

（2）∵△APE是等边三角形，
∴∠APE=∠AEP=60°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转60°后得到△ACE，
∴∠AEC=∠APB=150°，
∴∠CEP=∠AEC-∠AEP=150°-60°=90°，
又∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=50°，
∴△PEC是直角三角形；

（3）∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=200°-α，
而∠CEP=∠AEC-∠AEP=α-60°，
∴∠PCE=180°-∠CPE-∠CEP=180°-（200°-α）-（α-60°）=40°，
∵△CPE为等腰三角形，下面分三种情况讨论：
①当∠CPE=∠CEP时，
200°-α=α-60°，解得α=130°；
②当∠CPE=∠PCE时，
200°-α=40°，解得α=160°；
③当∠PCE=∠CEP时，α-60°=40°，解得α=100°…（12分）
综上所述，若△CPE为等腰三角形，则α=100°，130°，160°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．