Question

已知关于x的方程x²+（m-2）x-9=0
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1，求m的值．

Answer 1

解：（1）证明：方程的根的判别式△=（m-2）²-4×1×（-9）=（m-2）²+36
∵无论m取何实效（m-2）²+36＞0恒成立
∴这个方程总有两个不相等的实数根
（2）解由根与系数的关系．得α+β=2-m
则2α+β=α+α+β=α+2-m
∵2α+β=m+1，∴α+2-m=m+1，则α=2m-1
∵α是方程的根，∴α²+（m-2）α-9=0
则（2m-1）²+（m-2）（2m-1）-9=0
整理，得2m²-3m一2=0
解，得m₁=2，m₂=-．
分析：（1）证明其根的判别式大于零即可；
（2）由α+β=2-m得到2α+β=α+α+β=α+2-m，然后代入到2α+β=m+1，即可求得m的值．
点评：本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系及用根的判别式判定根的情况．