Question

如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BC=2，AD=6，DE=3，求AC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠BAC=∠DAE，易得∠BAE=∠CAD，又由∠BAC=∠BDC，∠BFA=∠CFD，可证得∠ABE=∠ACD，即可证得：△ABE∽△ACD． 
（2）由△ABE∽△ACD，可得

AB

AC

=

AE

AD

，又由∠BAC=∠DAE，则可证得△ABC∽△AED，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答：解：（1）证法一：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．                    
又∵∠BAC=∠BDC，∠BFA=∠CFD，
∴180°-∠BAC-∠BFA=180°-∠BDC-∠CFD，
即∠ABE=∠ACD．                 
∴△ABE∽△ACD．                   
证法二：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．                    
又∵∠BEA=∠DAE+∠ADE，∠ADC=∠BDC+∠ADE，∠DAE=∠BDC，
∴∠AEB=∠ADC．                   
∴△ABE∽△ACD．                   

（2）∵△ABE∽△ACD，
∴

AB

AC

=

AE

AD

．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED，
∴

BC

DE

=

AC

AD

，
∴AC=

BC

DE

•AD=

2

3

×6=4．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．