Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=2

3

，O是AC上一点，AO=m，且⊙O的半径长为1，求：
（1）线段AB与⊙O没有公共点时m的取值范围．
（2）线段AB与⊙O有两个公共点时m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：（1）作OE⊥AB于E，如图，根据勾股定理计算出AC=4，再证明△AEO∽△ABC，利用相似比得到OE=

3

2

m，然后根据直线与圆的位置关系，当线段AB与⊙O没有公共点时，OE＞1，即

3

2

m＞1，解得m＞

2 3

3

，于是得到m的取值范围为

2 3

3

＜m≤4；
（2）根据直线与圆的位置关系，当线段AB与⊙O有两个公共点时，OE＜1，即

3

2

m＜1，解得m＜

2 3

3

，由此可得m的取值范围为0≤m＜

2 3

3

．

解答：解：（1）作OE⊥AB于E，如图，
在Rt△ABC中，∵AB=2，BC=2

3

，
∴AC=

AB2+BC2

=4，
∵OE∥BC，
∴△AEO∽△ABC，
∴

AO

AC

=

OE

BC

，即

m

4

=

OE

2 3

，
∴OE=

3

2

m，
当线段AB与⊙O没有公共点时，OE＞1，
即

3

2

m＞1，
解得m＞

2 3

3

，
∴m的取值范围为

2 3

3

＜m≤4；
（2）当线段AB与⊙O有两个公共点时，OE＜1，
即

3

2

m＜1，
解得m＜

2 3

3

，
∴m的取值范围为0≤m＜

2 3

3

．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了相似三角形的判定与性质．