Question

如图，BE、CD是△ABC的高，连DE．
（1）求证：AE•AC=AB•AD；
（2）若∠BAC=120゜，点M为BC的中点，求证：DE=DM．

Answer 1

分析：（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论；
（2）连结ME，由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，由点M为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MB=ME=MD=MC，于是可判断点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，根据圆周角定理得∠DME=2∠EBD=60°，则可判断△MED为等边三角形，所以DE=DM．

解答：证明：（1）∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
而∠EAB=∠DAC，
∴△AEB∽△ADC，
∴AB：AC=AE：AD，
∴AE•AC=AB•AD；

（2）连结ME，如图，
∵∠BAC=120゜，
∴∠BAE=60°，
∴∠EBA=30°，
∵点M为BC的中点，
∴MB=ME=MD=MC，
∴点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，
∴∠DME=2∠EBD=2×30°=60°，
∴△MED为等边三角形，
∴DE=DM．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及圆周角定理．