Question

6．已知：如图，∠ACD=90°，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点B．
（1）在图1中，当AC=DC，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，
①在图1中依题意补全图形；
②线段BD、AB、CB满足的数量关系是BD+AB=$\sqrt{2}$CB；
（2）如图（2）和图（3）两个位置时，CD=$\sqrt{3}$AC，其它条件不变．
①在图2中，证明：2CB+BD=$\sqrt{3}$AB；
②在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是BD-2CB=$\sqrt{3}$AB．

Answer 1

分析 （1）①过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，据此作图即可；
②先根据ASA判定△CAE≌△CDB，得出AE=DB，CE=CB，进而得到△ECB为等腰直角三角形，得出BE=$\sqrt{2}$CB，再根据BE=AE+AB，得到BE=BD+AB，即可得出BD+AB=$\sqrt{2}$CB；
（2）①过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，根据∠ACE=∠DCB，∠D=∠CAE，即可判定△ACE∽△DCB，进而得出$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，从而得到$\sqrt{3}$BE=2CB，$\sqrt{3}$AE=BD，最后根据AB=AE+BE，得出$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$AE+$\sqrt{3}$BE，即$\sqrt{3}$AB=BD+2CB；
②过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，根据∠ACE=∠DCB，∠D=∠CAE，判定△ACE∽△DCB，进而得出$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，即可得到$\sqrt{3}$BE=2CB，$\sqrt{3}$AE=BD，最后根据AB=AE-BE，得出$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$AE-$\sqrt{3}$BE，即$\sqrt{3}$AB=BD-2CB．

解答 解：（1）①补全图形如图1所示；

②∵∠ACD=90°，CE⊥CB，
∴∠ECB=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB．
∵DB⊥MN于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAC+∠D=180°．
又∵∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠D=∠EAC．
在△CAE和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠DCB}\\{CA=CD}\\{∠EAC=∠D}\end{array}\right.$
∴△CAE≌△CDB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB，
即BD+AB=$\sqrt{2}$CB，
故答案为：BD+AB=$\sqrt{2}$CB；

（2）①证明：如图2，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，
∵∠ACD=90°，CE⊥CB，
∴∠ECB=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB．
∵DB⊥MN，
∴∠DBF=90°=∠ACF，
又∵∠DFB=∠AFC，
∴∠D=∠CAE，
∴△ACE∽△DCB，
又∵CD=$\sqrt{3}$AC，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，
∴Rt△BCE中，$\frac{CB}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\sqrt{3}$BE=2CB，
∵$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$AE=BD，
∵AB=AE+BE，
∴$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$AE+$\sqrt{3}$BE，
即$\sqrt{3}$AB=BD+2CB；

②线段BD、AB、CB满足的数量关系是：BD-2CB=$\sqrt{3}$AB．
理由：如图3，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，
∵∠ACD=90°，CE⊥CB，
∴∠ECB=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB．
∵DB⊥MN，
∴∠DBA=90°=∠ACD，
又∵∠AFB=∠DFC，
∴∠D=∠CAE，
∴△ACE∽△DCB，
又∵CD=$\sqrt{3}$AC，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，
∴Rt△BCE中，$\frac{CB}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\sqrt{3}$BE=2CB，
∵$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$AE=BD，
∵AB=AE-BE，
∴$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$AE-$\sqrt{3}$BE，
即$\sqrt{3}$AB=BD-2CB．
故答案为：$\sqrt{3}$AB=BD-2CB．

点评 本题属于三角形作图，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形，运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导计算．