Question

3．如图，已知线段AB=2，点P是线段AB外的一个动点，且PA=1，以PA，PB为腰向外作等腰直角三角形PAD和等腰直角三角形PBC，连结AC，BD．
（1）求AD的长．
（2）求证：AC=BD；
（3）直接写出线段AC长的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可；
（2）证明∠DPB=∠APC，得到△DPB≌△APC，根据全等三角形的性质证明；
（3）根据题意、结合图形求出BD的最大值，得到AC的最大值．

解答 解：（1）∵△PAD为等腰直角三角形，PA=1，
∴AD=$\sqrt{P{A}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$；

（2）∵∠DPA=∠CPB=90°，
∴∠DPB=∠APC，
在△DPB和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PA}\\{∠DPB=∠APC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△DPB≌△APC，
∴AC=BD，

（3）由题意得，当点P在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB=$\sqrt{2}$+2，
∵AC=BD，
∴AC的最大值为$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．