Question

8．△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在劣弧$\widehat{AC}$上，∠ABD=45°．
（1）如图1，BD交AC于E，连CD，若AB=BD，求证：CD=$\sqrt{2}$DE；
（2）如图2，连AD，CD，已知sin∠BDC=$\frac{12}{13}$，求tan∠CBD的值．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC，AB=BD得AC=BD，利用圆周角定理得到弧相等，∠ACD=∠ABD=45°，△EDC为等腰直角三角形，得证；
（2）作辅助线，构建直角三角形，利用边角关系与已知条件，得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AB=BD，
∴AC=BD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠BDC=∠ABD=45°，
∵∠ACD=∠ABD=45°，
∴△EDC为等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$DE；

（2）解：作DG⊥AC于G，作ON⊥AC于N，延长AO交BC于M，
∵sin∠BDC=sin∠MOC=$\frac{CM}{OC}$=$\frac{12}{13}$，
设CM=12，OC=OA=13，则AM=18，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=6$\sqrt{13}$，
∵∠ABD=45°，
∴∠ACD=45°，∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{2}$AO=13$\sqrt{2}$，CG=DG，
∴（AC-DG）²+DG²=AD²，
∴DG=$\sqrt{13}$，AG=5$\sqrt{13}$，
∵∠CBD=∠CAD，
∴tan∠CBD=tan∠CAD=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理和解直角三角形，熟练运用圆周角定理，构建直角三角形是解此题的关键．