Question

19．已知：在平面直角坐标系中，长方形OABC的邻边OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，B（1，$\sqrt{3}$），将长方形OABC绕点O顺时针旋转α至OA₁B₁C₁，使点B₁在x轴正半轴上．
（1）点C₁的坐标；
（2）已知D（0，2），当0°＜α＜90°时，作∠FDB₁=90°，其两边分别交OB、OA的反向延长线于E、F，如图，判断：①DE+DF；②|DE-DF|中，哪个为定值并求其值；
（3）若点P为A₁O延长线上一点，作PH⊥x轴于H，在矩形旋转过程中（0°＜α＜90°），如图，连接PC，取PC的中点M，连接MH、MA，问∠AMH是否为定值？若为定值，求其值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠C₁OB₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{O{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出∠C₁OB₁=30°，由此即可解决问题．
（2）如图2中，结论：：①DE+DF是定值．只要证明△OFD≌△OEB₁（AAS），推出DF=EB₁、DE+DF=DE+EB₁=DB₁=2$\sqrt{2}$为定值．
（3）如图3中，取OP的中点N，连接MN、HN、AH．只要证明△MNH≌△AOH（SAS），推出HM=HA，∠MHN=∠AHO，由∠MHN+∠MHO=60°，推出∠AHO+∠MHO=60°，推出△MAH为等边三角形，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵OC₁=OC=$\sqrt{3}$，B₁C₁=OA=1，
∴tan∠C₁OB₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{O{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠C₁OB₁=30°，
∴C₁（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

（2）如图2中，结论：：①DE+DF是定值．

理由：∵OB=OB₁=2，
∴OB₁=OD，
∴△OB₁D为等腰直角三角形
∵∠FDB₁=90°，
∴∠FDO=45°，
∵∠AOB=90°，
∴∠FOB=90°，
在四边形FOED中，∠OFD+∠OED=180°
∵∠OED+∠OEB₁=180°，
∴∠OFD=∠OEB₁，
∴△OFD≌△OEB₁（AAS），
∴DF=EB₁，
∴DE+DF=DE+EB₁=DB₁=2$\sqrt{2}$为定值．

（3）如图3中，取OP的中点N，连接MN、HN、AH．

∵PH⊥x轴，
∴HN=MN，
 由（1）得，∠A₁Ox=60°=∠POH，
∴△HON为等边三角形，
∴OH=HN，
∵M为PC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$OC=OA，设∠MNO=α，则∠POC=180°-α
∴∠MNH=60°+α
∵∠HOA=360°-60°-60°-（180°-α）=60°+α
∴∠HOA=∠MNH，
∴△MNH≌△AOH（SAS），
∴HM=HA，∠MHN=∠AHO，
∵∠MHN+∠MHO=60°，
∴∠AHO+∠MHO=60°，
∴△MAH为等边三角形，
∴∠AMH=60°为定值．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．