Question

如图所示，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，B（4，2），以BE为直径作⊙O₁．
（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O₁的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O₁相切？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,坐标与图形性质,点与圆的位置关系

专题：动点型

分析：（1）要判断点G与⊙O₁的位置关系，只需比较O₁G与⊙O₁的半径O₁B的大小；
（2）如果t秒时FB与⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF与RT△OEF中，根据EF不变列出方程，求出t的值．

解答：解：（1）∵点B的坐标为（4，2），
又∵OE：OF=1：2，∠OFE=∠EOB．
∴∠FGO=90°，
又∵BE为⊙O₁的直径，
∴点G在⊙O₁上．

（2）过点B作BM⊥OF，设
OE=x，则OF=2x，
BF²=BM²+FM²=4²+（2x-2）²=4x²-8x+20，BE²=（4-x）²+2²=x²-8x+20，
又∵OE²+OF²=BE²+BF²，
∴x²+4x²=5x²-16x+40，
∴x=

5

2

（x＞0），
即

5

2

秒时，BF与⊙O₁相切．

点评：本题综合考查了切线的判定，三角函数等知识，解题中要善于抓住不变量，找到等量关系，题目有一定难度，可以考查学生的综合实力．