Question

如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，延长AB到G，使BG=AB，连接GO并延长，交BC于E，交AD于F，且AC=2AB，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

证明：连接CG，
∵在矩形ABCD中AC=2AB，
∴∠CAG=60°，
∵BG=AB，
∴AG=AC，
∴△ACG是等边三角形，
∵O为AC的中点，
∴GF⊥AC，
∵在矩形ABCD中，BC‖AD，
∴∠DAC=∠BCA，AO=OC，∠AOF=∠COE=90°，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
分析：连接CG，推出∠ACB=30°，∠BAC=60°，证△ACG是等边三角形，得到AG=CG，推出EF⊥AC，证△AOF≌△COE，推出CE=AF，根据菱形的判定得到四边形AECF是菱形即可．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．