Question

9．在平面直角坐标系中，任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），规定运算：
①A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂）；②A?B=x₁x₂+y₁y₂；③当x₁=x₂且y₁=y₂时，A=B，有下列四个命题：
（1）若A（1，2），B（2，-1），则A⊕B=（3，1），A?B=0；
（2）若A⊕B=B⊕C，则A=C；
（3）若A?B=B?C，则A=C；
（4）对任意点A、B、C，均有（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）成立，其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）根据新定义可计算出A⊕B=（3，1），A?B=0；
（2）设C（x₃，y₃），根据新定义得A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂），B⊕C=（x₂+x₃，y₂+y₃），则x₁+x₂=x₂+x₃，y₁+y₂=y₂+y₃，于是得到x₁=x₃，y₁=y₃，然后根据新定义即可得到A=C；
（3）由于A?B=x₁x₂+y₁y₂，B?C=x₂x₃+y₂y₃，则x₁x₂+y₁y₂=x₂x₃+y₂y₃，不能得到x₁=x₃，y₁=y₃，所以A≠C；
（4）根据新定义可得（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃）．

解答 解：（1）A⊕B=（1+2，2-1）=（3，1），A?B=1×2+2×（-1）=0，所以（1）正确；
（2）设C（x₃，y₃），A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂），B⊕C=（x₂+x₃，y₂+y₃），
而A⊕B=B⊕C，
所以x₁+x₂=x₂+x₃，y₁+y₂=y₂+y₃，则x₁=x₃，y₁=y₃，
所以A=C，所以（2）正确；
（3）A?B=x₁x₂+y₁y₂，B?C=x₂x₃+y₂y₃，
而A?B=B?C，则x₁x₂+y₁y₂=x₂x₃+y₂y₃，
不能得到x₁=x₃，y₁=y₃，所以A≠C，所以（3）不正确；
（4）因为（A⊕B）⊕C=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃），A⊕（B⊕C）=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃），
所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），所以（4）正确．
故选C．

点评 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了阅读理解能力．