Question

15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点G．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：△AEG≌△AFG；
（3）猜想：AD与EF的位置关系为互相垂直，试证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）首先运用角平分线的性质得出DE=DF，再由HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出结论；
（2）根据SAS即可证明△AEG≌△AFG；
（3）由等腰三角形的三线合一性质即可得出AD⊥EF．

解答 （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF；
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEG和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}&{\;}\\{∠EAG=∠FAG}&{\;}\\{AG=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AFG（SAS）；
（3）解：AD⊥EF；理由：
∵AE=AF，AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF（三线合一）；
故答案为：互相垂直．

点评 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．