Question

4．已知实数m满足m⁴-m²-2m-1=0，实数n满足n-$\frac{1}{n}$=1，则$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=-3或2．

Answer 1

分析 由m⁴-m²-2m-1=0得m⁴=（m+1）²，即m²=m+1或m²=-m-1（无解，舍去），由n-$\frac{1}{n}$=1得n²-n-1=0，从而得出m、n可看作方程x²-x-1的两实数根，由韦达定理得m+n=1、mn=-1，将其代入$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$可得答案．

解答 解：∵m⁴-m²-2m-1=0，
∴m⁴=m²+2m+1，即m⁴=（m+1）²，
∴m²=m+1或m²=-m-1，
当m²=m+1，即m²-m-1=0时，△=（-1）²-4×1×（-1）=5＞0，有解；
当m²=-m-1，即m²+m+1=0时，△=1²-4×1×1=-3＜0，无解，舍去；
∴实数m满足m²-m-1=0；
∵n-$\frac{1}{n}$=1，
∴n²-1=n，即n²-n-1=0，
∴当m≠n时，m、n可看作方程x²-x-1的两实数根，
∴m+n=1，mn=-1，
则$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$
=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$
=$\frac{{1}^{2}-2×（-1）}{-1}$
=-3，
当m=n时，原式=1+1=2，
故答案为：-3或2．

点评 本题主要考查分式的混合运算、一元二次方程的根的判别式及韦达定理，根据已知等式得出m、n是方程x²-x-1的两实数根是解题的关键．