Question

如图，ABCD为正五边形，点P为CD中点，连接BD，分别与AC、AP相交于点M、N，则

MN

BM

=______．

Answer 1

∵ABCD为正五边形，点P为CD中点，
∴∠BCA=∠BAC=36°，∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠E=108°，
AP是CD的垂直平分线，
∴CN=ND，
∴∠NDC=∠NCD=36°，
∴∠BCN=∠BNC=72°，
∴∠CBN=36°，
∵∠NCM=108°-∠BCA-∠NCD=36°，
∠CNM=∠NCD+∠NDC=72°，
∴∠CMN=72°，
∴∠NCM=∠CBN，∠BCN=∠CNM，
∴△CNM∽△BCN，

MN

CN

=

CN

BN

，
设BC=1，CN=BM=CM=x，则MN=1-x，
∴

1-x

x

=

x

1

，
∴x²+x-1=0，
解得：x=

-1+ 5

2

，
∴MN=1-

-1+ 5

2

=

3- 5

2

，
∴则

MN

BM

=

3- 5 2

-1+ 5 2

=

5 -1

2

，
故答案为：

5 -1

2

．