Question

9．已知∠AC0=45°，P是线段AC上任一点，（P不与A、C重合），连OP，作PE⊥OP，且PE=OP，连AE，试判断AE和OA的位置关系，请说明理由．

Answer 1

分析 作OG⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为G、F，首先利用等腰直角三角AOC，得出条件证得△OGP≌△PFE，OG=PF=AG，GP=EF，进一步证得△AEF是等腰直角三角形得出结论AE⊥OA即可．

解答 AE⊥OA．
证明：如图，

作OG⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为G、F，
∵∠AC0=45°，∠A0C=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴OA=OC，
∴OG=CG=AG，
∵PE⊥OP，
∴∠OPG+∠EPF=∠GOP+∠OPG=90°，
∴∠GOP=∠EPF，
在△OGP和△PFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOP=∠FPE}\\{∠OGP=∠EFP}\\{OP=PE}\end{array}\right.$，
∴△OGP≌△PFE，
∴OG=PF=AG，GP=EF，
∴AG-AP=PF-AP，
∴GP=AF=EF，
∴∠EAF=45°，
∴AOE=90°，
∴AE⊥OA．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造出全等的三角形是解决问题的关键．