Question

11．如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=$\frac{1}{3}$AD，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=a（a为常数）时，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的性质求出OB=OE，BF=EF，根据矩形性质和平行线性质求出∠FEO=∠GBO，证△FOE≌△GOB，推出OF=OG，即可得出答案；
（2）求出AD=2a，DE=$\frac{2}{3}$a，AE=2a-$\frac{2}{3}$a=$\frac{4}{3}$a，根据勾股定理求出BE、求出OB，根据勾股定理求出BF，根据勾股定理求出OF即可．

解答 解：（1）四边形BFEG的形状是菱形，
理由是：∵BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G，
∴OB=OE，BF=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FEO=∠GBO，
在△FOE和△GOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEO=∠GBO}\\{OE=OB}\\{∠FOE=∠GOB}\end{array}\right.$，
∴△FOE≌△GOB，
∴OF=OG，
∵OB=OE，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∵BF=EF，
∴四边形BFEG是菱形；

（2）∵AB=a，AD=2AB，DE=$\frac{1}{3}$AD，
∴AD=2a，DE=$\frac{2}{3}$a，
∴AE=2a-$\frac{2}{3}$a=$\frac{4}{3}$a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{4}{3}a）^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
∴BO=OE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{6}$a，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+AF²=BF²=EF²，
a²+（$\frac{4}{3}$a-BF）²=BF²，
解得：BF=$\frac{25}{24}$a，
在Rt△FOB中，由勾股定理得：FO=$\sqrt{B{F}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{24}a）^{2}-（\frac{5}{6}a）^{2}}$=$\frac{5}{8}$a，
∴FG=2FO=$\frac{5}{4}$a．

点评 本题考查了矩形的性质，垂直平分线性质，平行四边形的判定，勾股定理，菱形的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．