Question

17．已知m，n是方程x²+3x+1=0的两根
（1）求（m+5-$\frac{16}{5-m}$）$•\frac{2m-10}{3-m}$-$\frac{2}{m}$的值
（2）求$\sqrt{\frac{{m}^{3}}{n}}$+$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{m}}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；
（2）根据m和n小于0化简$\sqrt{\frac{{m}^{3}}{n}}$+$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{m}}$为$\sqrt{mn}$（$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$），然后根据m+n=-3，mn=1整体代值计算．

解答 解：（1）∵m，n是方程x²+3x+1=0的两根，
∴m=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，n=$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$，
∴m＜n＜0，
原式=$\frac{25{-m}^{2}-16}{5-m}$•$\frac{2（m-5）}{3-m}$-$\frac{2}{m}$
=$\frac{2{（m}^{2}-9）}{3-m}$-$\frac{2}{m}$
=-6-2m-$\frac{2}{m}$
=$\frac{-2（{m}^{2}+3m+1）}{m}$
∵m，n是方程x²+3x+1=0的两根，
∴m²+3m+1=0，
∴原式=0；
（2）∵m＜0，n＜0，
∴$\sqrt{\frac{{m}^{3}}{n}}$+$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{m}}$=-m$\sqrt{\frac{m}{n}}$-n$\sqrt{\frac{n}{m}}$=$\frac{m}{n}\sqrt{mn}$+$\frac{n}{m}\sqrt{mn}$=$\sqrt{mn}$（$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$），
∵m+n=-3，mn=1，
∴原式=9-2=7．

点评 本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．