Question

1．如图1，一次函数y₁=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$（m为常数，m≠0）的图象交于点M（1，4）和点N（4，n）．
（1）填空：①反比例函数的解析式是y₂=$\frac{4}{x}$；
②根据图象写出y₁＜y₂时自变量x的取值范围是0＜x＜1或x＞4；
（2）若将直线MN向下平移a（a＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a的值；
（3）如图2，函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象（x＞0）上有一个动点C，若将直线MN绕点C旋转得到直线PQ，PQ交x轴于点A，交y轴于点B，若BC=2CA，求OA•OB的值．

Answer 1

分析 （1）①把M点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值，则可求得答案；②直接由M、N的坐标可求得答案；
（2）由反比例函数解析式可求得N点坐标，把M、N的坐标代入一次函数解析式，可求得直线MN的解析式，可设出平移后的解析式，联立平移后的解析式与反比例函数解析式，消去y，可得到关于x的方程，利用根的判别式可求得a的值；
（3）设C（a，b），则可求得ab=4，过C作CH⊥OA于点H，当点B在y轴负半轴时，可证得△ACH≌△ABO，则可求得OA•OB的值；当点B在y轴的正半轴时，可证明△ACH∽△ABO，利用相似三角形的性质可求得OA•OB，可求得答案．

解答 解：
（1）∵y₂=$\frac{m}{x}$（m为常数，m≠0）过点M（1，4），
∴m=4，
∴y₂=$\frac{4}{x}$，
故答案为：y₂=$\frac{4}{x}$；
②当y₁＜y₂时，即直线MN在反比例函数图象的下方时对应的自变量的取值范围，
∵M（1，4），N（4，n），
∴当y₁＜y₂时时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞4；
故答案为：0＜x＜1或x＞4；
（2）∵N（4，n）在反比例函数y₂=$\frac{4}{x}$上，
∴4n=4，解得n=1，
∴N（4，1），
把M、N坐标代入y₁=kx+b可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线MN解析式为y₁=-x+5，
∴将直线MN向下平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y=-x+5-a，
把y=$\frac{4}{x}$代入消去y，整理可得x²-（5-a）x+4=0，
∵平移a（a＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，
∴△=（5-a）²-16=0，
解得a=1或a=9；
（3）设点C（a，b），则ab=4，如图1，过C作CH⊥OA于点H，
①当点B在y轴的负半轴时，如图1，

∵BC=2CA，
∴AB=CA，
在△ACH和△ABO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{∠AHC=∠AOB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB=CH=b，OA=AH=$\frac{1}{2}$a，
∴OA•OB=$\frac{1}{2}$ab=2；
②当点B在y在y轴的正半轴时，如图2，当点A在x轴的正半轴时，

∵BC=2CA，
∴$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴$\frac{CH}{OB}$=$\frac{AH}{OA}$=$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OB=3b，OA=$\frac{3}{2}$a，
∴AO•OB=$\frac{9}{2}$ab=18，
如图3，当点A在x轴的负半轴时，BC=2CA不可能，

综上可知OA•OB的值为2或18．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、根的判别式、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得直线MN的解析式，用a表示出平移后的解析式，由条件得到关于a的方程是解题的关键，在（3）中分两种情况分别利用三角形的全等或相似的性质用C点坐标分别表示出OA和OB是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．