Question

11．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠CFE
（1）求证：∠BAF=∠CAD；
（2）求证：AD∥BE；
（3）若BF平分∠ABC，请写出∠AFB与∠CAF的数量关系2∠AFB+∠CAF=180°．．（不需证明）

Answer 1

分析 （1）根据∠BAC=∠DAE，运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，进而得到∠BAF=∠CAD；
（2）根据∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根据∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，进而判定AD∥BE；
（3）根据AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根据BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根据∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根据AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，进而得到2∠AFB+∠CAF=180°．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，
∴∠BAF=∠CAD；

（2）∵∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，
∴∠B=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BE；

（3）如图2，∵AD∥BE，
∴∠E=∠1=∠2，
∵BF平分∠ABC，
∴∠3=∠4，
∵∠AFB是△BEF的外角，
∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，
∴∠AFB=3+∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°，
即2∠AFB+∠CAF=180°．
故答案为：2∠AFB+∠CAF=180°．

点评 本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．