Question

如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC边于点D，在劣弧    上取一点E，并使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H
小题1:求证：AC⊥BH
小题2:若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长

Answer 1

小题1:连接AD，………………………………………1分
∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，
∴∠DAC＝∠EBC，…………………………………2分
又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，………3分
∴∠EBC＋∠BCG＝∠DAC＋∠DCA＝90°，
        
∴∠BGC＝90°，∴AC⊥BH．……………………5分
小题2:∵∠BDA＝180°－∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝8，……………………6分
又∵AC＝10，∴在Rt△ADC中由勾股定理，得：
，
∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14，……………………………7分
又∵∠BGC＝∠ADC＝90°，∠BCG＝∠ACD，
∴△BCG∽△ACD，
∴，∴，………8分
连接AE，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，
∴Rt△AEC∽Rt△EGC，∴，∴，
∴．……………………………………10分

 (1)利用园的直径对应的园周角为直角，再根据角的等量代换得出∠BGC＝90°，从而得出AC⊥BH；
（2）先用勾股定理求出BC的长，然后利用△BCG∽△ACD求出CG的长，再利用Rt△AEC∽Rt△EGC求出CE的长。