Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（9，0）、B（9，12），点M、N分别是线段OB、AB上的动点，速度分别是每秒$\frac{5}{3}$单位、2个单位，作MH⊥OA于H．现点M、N分别从点O、A同时出发，当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由：
（2）是否存在t的值，使△OMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度改变为何值时（匀速运动），能使四边形BMHN在某一时刻为菱形．

Answer 1

分析 根据题意证明MH∥BA，根据平行线分线段成比例定理用t表示出OH和MH，
（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列式求出t；
（2）从△OMH∽△HNA和△OMH∽△NAH两种情况进行解答，
（3）根据邻边相等的平行四边形是菱形进行分析解答即可．

解答 解：∵A（9，0）、B（9，12），
∴OA=9，AB=12，由勾股定理，OB=15，
由题意得，BA⊥OA，又MH⊥OA，
∴MH∥BA，
∴$\frac{OH}{OA}$=$\frac{MH}{AB}$=$\frac{OM}{OB}$，又OM=$\frac{5}{3}$t，
∴OH=t，MH=$\frac{4}{3}$t，
（1）使四边形BMHN为平行四边形，MH=BN即可，
即$\frac{4}{3}$t=12-2t，
解得，t=3.6；
（2）当△OMH∽△HNA时，$\frac{OH}{HA}$=$\frac{MH}{NA}$，
即$\frac{t}{9-t}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{2t}$，解得，t=3.6；
当△OMH∽△NHA时，$\frac{OM}{NA}$=$\frac{MH}{HA}$，
即$\frac{t}{2t}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{9-t}$，解得，t=$\frac{27}{11}$；
（3）四边形BMHN不是菱形，
由（1）得，t=3.6时，四边形BMHN为平行四边形，
此时，MH=4.8，MB=15-$\frac{5}{3}$t=9，
∴MH≠MB，四边形BMHN不是菱形，
若四边形BMHN是菱形，则HM=MB=BN，
设点N的速度改变为x，
即$\frac{4}{3}$t=15-$\frac{5}{3}$t=12-xt，
解得，t=5，x=$\frac{16}{15}$，
当点N的速度改变为$\frac{16}{15}$时，5秒四边形BMHN为菱形．

点评 本题考查的是平行四边形和菱形的判定，掌握平行四边形和菱形的判定定理是解题的关键，注意相似三角形的性质定理的运用和分类讨论思想的正确运用．