Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，0），且与直线l：y=x+m交y轴于同一点B（0，1），与直线l交于另一点A，D为抛物线的对称轴与直线l的交点，P为线段AB上的一动点（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E．
（1）求抛物线和直线l的函数解析式，及另一交点A的坐标；
（2）求△ABE的最大面积是多少？
（3）问是否存在这样的点P，使四边形PECD为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，0），可设此抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，然后由待定系数法即可求得抛物线和直线l的函数解析式，然后联立两个解析式，即可求得另一交点A的坐标；
（2）首先过点E作EG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥EG于点F，然后设E（x，x²-2x+1），由S_△ABE=S_梯形ABGF-S_△BEG-S_△AEF，利用二次函数的性质，即可求得△ABE的最大面积；
（3）由平行四边形的判定，可得当PE=CD时，四边形PECD为平行四边形，然后设P（x，x+1），则点E（x，x²-2x+1），即可得PE=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x=2，继而可求得点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，0），
∴设此抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，
∵点B（0，1）在此抛物线上，
∴a=1，
∴此抛物线的解析式为：y=（x-1）²=x²-2x+1；
∵直线l：y=x+m交y轴于点B（0，1），
∴1=0+m，
解得：m=1，
∴直线l的函数解析式为y=x+1；
联立得：

y=x2-2x+1 y=x+1

，
解得：

x=3 y=4

或

x=0 y=1

，
故点A的坐标为：（3，4）；

（2）过点E作EG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥EG于点F，
设E（x，x²-2x+1），
∴EG=x，EF=3-x，BG=1-（x²-2x+1）=-x²+2x，AF=4-（x²-2x+1）=-x²+2x+3，GF=3，
∴S_△ABE=S_梯形ABGF-S_△BEG-S_△AEF=

1

2

（BG+AF）•GF-

1

2

BG•EG-

1

2

EF•AF
=

1

2

×[（-x²+2x）+（-x²+2x+3）]×3-

1

2

×（-x²+2x）×x-

1

2

×（3-x）×（-x²+2x+3）
=-

-3x2+9x

2

=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∴当x=

3

2

时，S_△ABE的最大值为：

27

8

，
∴△ABE的最大面积是

27

8

；

（3）存在．
∵PE∥y轴，CD∥y轴，
∴PE∥CD，
∴当PE=CD时，四边形PECD为平行四边形，
∵点D在直线y=x+1上，且点D的横坐标为1，
∴点D（1，2），
∴CD=2，
设P（x，x+1），则点E（x，x²-2x+1），
∴PE=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x=2，
即x²-3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
故点P的坐标为：（2，3）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、函数的交点问题、二次函数的最值问题以及平行四边形的判定．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．