Question

在直角坐标系中，如图所示，把∠BAC放在直角坐标系中，使射线AC与x轴重合，已知∠BAC=30°，OA=OB=1，过点B作BA₁⊥OB交x轴于A₁，过点A₁做B₁A₁⊥BA₁交直线AB于点B₁，过B₁做B₁ A₂⊥B₁A₁交x轴于点A₂，再过A₂依次作垂直…．
（1）求A、B点坐标（直接写出答案）
（2）求直线AB的解析式
（3）求△A₆B₆A₇的面积．

Answer 1

分析：（1）根据OA的长即可求出A的坐标，根据OB和∠BOA₁=60°，即可求出B的坐标；
（2）设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（3）推出∠BAC=∠ABO=30°，求出∠BOC=60°，∠BA₁O=30°，求出BA₁=

3

，求出A₁B₁=

3

×

3

、B₁A₂=3

3

=

3

×

3

×

3

，同理求出A₆B₆=12个

3

相乘，B₆A₇=13个

3

相乘，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：（1）解：A（-1，0），B（

1

2

，

3

2

）．

（2）解：设直线AB的解析式是：y=kx+b，
把A（-1，0），B（

1

2

，

3

2

）代入得：

0=-k+b 3 2 = 1 2 k+b

，
解得：

k= 3 3 b= 3 3

，
∴直线AB的解析式为：y=

3

3

x+

3

3

．

（3）解：∵OB=OA=1，
∴∠BAC=∠ABO=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠BA₁O=30°，
∴BA₁=

3

，
同理∠BB₁A₁=30°，
∴B₁A₁=3=

3

×

3

，
同理：B₁A₂=3

3

=

3

×

3

×

3

，
…
A₆B₆=

3

×

3

×…×

3

（12个

3

相乘），
B₆A₇=

3

×

3

×…×

3

（13个

3

相乘），
∴△A₆B₆A₇的面积是：

1

2

A₆B₆×B₆A₇=

1

2

×（

3

×

3

×…×

3

）×（

3

×

3

×…×

3

）=

312 3

2

，
答：△A₆B₆A₇的面积是

312 3

2

．

点评：本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点的应用，关键是能根据求出的数据得出规律，题目比较好，但是有一定的难度．