Question

12．已知正方形ABCD和正方形OEFG的位置如图所示，且它们的边长均为2cm，OE、OG分别与对角线的一半OB、OC重合，则图（1）中的重合面积是多少？若正方形OEFG绕点O顺时针旋转一个角度α，则得到如图（2）所示图形，则图（2）中阴影部分的面积又是多少？请给予合理的解释．

Answer 1

分析 图1中的重合部分面积等于正方形面积的$\frac{1}{4}$，连接OC、OB，AB与OE交于点N，BC与OG交于点M，通过全等三角形证明这个重合部分的面积等于正方形面积的$\frac{1}{4}$．

解答 解：在图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$×4=1，
在图2中，连接OC、OB，AB与OE交于点N，BC与OG交于点M．
∵∠MON=∠BOC=90°，
∴∠NOB=∠COM，
在△COM和△BON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COM=∠BON}\\{OC=OB}\\{∠OCM=∠OBN}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△OBN，
∴S_△OCM=S_△OBN，
∴S_{四边形OMBN}=S_△OBC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=1．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，学会把求不规则图形面积转化为规则图形面积，构造全等三角形是解决问题的关键．