Question

（1）如图，P是正方形ABCD的BC边上的中点，AP⊥PQ，且PQ交∠DCB的外角平分线于Q．求证：AP=PQ
（2）P是正方形ABCD的BC边所在直线上的任一点，AP⊥PQ，且PQ交∠DCB的外角平分线所在直线于Q．（1）中的结论是否成立？试证之．

Answer 1

（1）证明：过点Q作QM⊥PC，于点M，
∵AP⊥PQ，
∴∠APB+∠QPM=90°，
∵∠QPM+∠PQM=90°，
∴∠PQM=∠APB，
∵∠ABP=∠QMP=90°，
∴△ABP∽△PMQ，
∵P是正方形ABCD的BC边上的中点，
∴BP=PC=AB，
∴=，
∵PQ交∠DCB的外角平分线于Q．
∴QM=CM，
∴QM=CM=PC，
∴QM=BP，
∵∠PQM=∠APB，
∠ABP=∠QMP=90°，
∴△ABP≌△PMQ，
∴PA=PQ．

（2）证明：在AB上取一点M，使BM=BP，连接MP．
∴AM=CP．
∴∠BMP=45°，
∴∠AMP=135°．
∵CQ是外角平分线，
∴∠DCQ=45°，
∴∠PCQ=135°．
∴∠AMP=∠PCQ．
∵∠APB+∠BAP=90°，∠APB+∠CPF=90°，
∴∠BAP=∠CPF．
∴△AMP≌△QCP（ASA）．
∴AP=QP．
分析：（1）利用过点Q作QM⊥PC，于点M，证明△ABP∽△PMQ，进而得出△ABP≌△PMQ，即可得出PA=PQ．
（2）首先作辅助线：在AB上取一点M，使BM=BP，连接MP，利用ASA，易证得，△AMP≌△QCP，则可证得：AP=QP．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．